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La formula di Taylor con resto di Peano è una rappresentazione di una funzione differenziabile mediante un polinomio di Taylor, con un termine di errore che si esprime in forma asintotica. Data una funzione $f$ sufficientemente regolare in un intorno di un punto $x_0$ , la formula di Taylor con resto di Peano scrive la funzione come:

P_n(x) + o((x - x_0)^n) \quad \text{per } x \to x_0

dove $P_n(x)$ è il polinomio di Taylor di grado $n$ centrato in $x_0$ :

Pn(x)=∑k=0nf(k)(x0)k!(x−x0)kP_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x - x_0)^k

e il termine $o((x - x_0)^n)$ indica un errore infinitesimo di ordine superiore rispetto a $x - x_0)^n$ , nel senso che:

lim⁡x→x0o((x−x0)n)(x−x0)n=0.\lim_{x \to x_0} \frac{o((x - x_0)^n)}{(x - x_0)^n} = 0.

Questa forma della formula di Taylor è utile per ottenere uno sviluppo asintotico della funzione, trascurando il comportamento preciso del termine di resto, ma garantendo che esso sia di ordine superiore rispetto al termine di grado $n$ . È particolarmente utile nell'analisi matematica per studiare il comportamento locale Formula di Taylor con resto di Peano